METODE BIG M

Sering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan ≤ tapi juga oleh pertidakasamaan ≥ dan/atau persamaan (=).  Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ mempunyai surplus variable, tidak ada slack variables.  Surplus variable tidak bisa menjadi variabel basis awal.  Dengan demikian harus ditambahkan satu variabel baru yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal.  Variabel yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal hanya slack variables dan artificial variables (variabel buatan).  

1.    Jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≤  maka variabel basis awal semuanya adalah slack variables.  Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan cara yang sudah diperkenalkan sebelumnya.

2.    Jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan  ≥ dan/atau ≤ maka variabel basis awal adalah slack variables dan/atau variabel buatan.  Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan memilih antara metode Big M, Dua Fase atau Dual Simpleks. 

3.    Jika fungsi kendala ada yang menggunakan persamaan maka variabel buatan akan ditemukan pada variabel basis awal.  Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini hanya dapat dilakukan dengan memilih antara metode Big M atau Dua Fase.

Perbedaan metode Big M dengan primal simpleks biasa (teknik penyelesaian yang sudah dipelajari sebelumnya), terletak pada pembentukan tabel awal.  Jika fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≥, perubahan dari bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu variabel surplus. 

Variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis awal, karena koefisiennya bertanda negatif.  Sebagai variabel basis pada solusi awal, harus ditambahkan satu variabel buatan.  Variabel buatan pada solusi optimal harus bernilai 0, karena variabel ini memang tidak ada.

Teknik yang digunakan untuk memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimal adalah dengan cara berikut:

•      Penambahan variabel buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki variabel slack, menuntut penambahan variabel buatan pada fungsi tujuan.

•      Jika fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M;  jika fungsi tujuan adalah minimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien -M.

•      Karena koefisien variabel basis pada tabel simpleks harus bernilai 0, maka variabel buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variabel buatan tersebut.

Perhatikan contoh di bawah ini. 

Bentuk Umum

Min. z = 4 x₁ +  x₂

Terhadap:    3x₁ + x₂ = 3

4x₁ + 3x₂  ≥ 6

                           x₁ + 2x₂ ≤ 4

                           x₁, x₂ ≥ 0

Bentuk Baku:

 Min. z = 4 x₁ +  x₂  

Terhadap:    3x₁ + x₂ = 3

4x₁ + 3x₂  - s₁ = 6

                           x₁ + 2x₂  + s₂ = 4

                   x₁, x₂, s₁, s₂ ≥ 0

Kendala 1 dan 2 tidak mempunyai slack variables, sehingga tidak ada variabel basis awal.  Untuk berfungsi sebagai variabel basis awal, pada kendala 1 dan 2 ditambahkan masing-masing satu variabel buatan (artificial variable).  Maka bentuk baku Big M-nya adalah:

Min. z = 4 x₁ +  x₂ + MA₁ + MA₂

Terhadap:    3x₁ + x₂ + A₁ = 3

4x₁ + 3x₂  - s₁ + A₂ = 6

                           x₁ + 2x₂  + s₂ = 4

                   x₁, x₂, s₁, s₂ ≥ 0

1.   Nilai A₁ digantikan dari fungsi kendala pertama.

A₁ = 3 - 3x₁ - x₂ 

MA₁  berubah menjadi M(3 - 3x₁ - x₂)            3M-3Mx₁-Mx₂

2.   Nilai A₂ digantikan dari fungsi kendala ketiga.

A₂ =  6 - 4x₁ - 3x₂  + s₁ 

MA₂ berubah menjadi M(6 - 4x₁ - 3x₂  + s₁)

                          6M- 4Mx₁ - 3Mx₂ + Ms₁

3.   Fungsi tujuan berubah menjadi

Min z = 4x₁ + x₂ + 3M-3Mx₁-Mx₂ +6M-4Mx₁-3Mx₂+Ms₁

          = (4 -7M)x₁+(1 - 4M)x₂ + Ms₁ +9M

5. Perhitungan iterasinya sama dengan simpleks sebelumnya.

Iterasi-0

VB	X1	X2	S1	A1	A2	S2	Solusi	Rasio
z	-4 +7M	-1 +4M	-M	0	0	0	9M	-
A1 A2	3 4	1 3	0 -1	1 0	0 1	0 0	3	1
							6	3/2
S2	1	2	0	0	0	1	4	2

Iterasi-1

VB	X1	X2	S1	A1	A2	S2	Solusi	Rasio
z	0	(1 +5M)/3	-M	(4-7M)/3	0	0	4+2M	-
X1 A2	1 0	1/3 5/3	0 -1	1/3 -4/3	0 1	0 0	1	3
							2	6/5
S2	0	5/3	0	-1/3	0	1	3	9/5

Iterasi-2

VB	X1	X2	S1	A1	A2	S2	Solusi	Rasio
z	0	0	1/5	8/5 – M	-1/5 – M	0	18/5	-
X1 X2	1 0	0 1	1/5 -3/5	3/5 -4/5	-1/5 3/5	0 0	3/5	25/3
							6/5	-
S2	0	0	1	1	-1	1	1	1

Iterasi-3              optimal

VB	X1	X2		S1		A1		A2		S2		Solusi
z	0	0		0		7/5-M		-M		-1/5		17/5
X1 X2	1 0		0 1		0 0		2/5 -1/5		0 0		-1/5 3/5	2/5
												9/5
S1	0		0		1		1		-1		1	1